Androidで高さを指定してmultilineにすると、開始位置がちょっと下の方にずれ、複数行入力していくと位置がガチャつくことがあります。
その場合には高さの指定とともに
textAlignVertical: 'top',
を入れることで整います。
<Input style={{ width, height: 150, textAlignVertical: 'top', }} multiline placeholder={I18n.t('InputMessage')} onChangeText={text => this.onChangeText(text)} value={this.state.text} />
参考
http://qiita.com/YutamaKotaro/items/225d91b9944169c2e518